determinant of a matrix:矩阵的行列式
rank of a matrix: 矩阵的秩
定理:矩阵的行秩(行向量组的秩)与列秩相同.
因此不区分它们,统称为矩阵的秩.
rank of a vector: 向量的秩
一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
因为线性无关的向量组就是它本身的极大线性无关组,因此一向量组线性无关的充要条件就是:它的秩与它所含向量个数相同.
每一向量组都与它的极大线性无关组等价(所谓等价就是它们可以互相线性表出),并且由秩的定义可得,它们的秩相同.
由等价的传递性可知,任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.因此等价的向量组必有相同的秩.
向量组的极大线性无关组不是唯一的,但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
因此一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
linear express: 线性表出
若向量b可以表示为
b=k1a2+k2a2+...knan,
则称b是向量组a1,a2,...,an的一个线性组合或说b由向量组a1,a2,...,an线性表出.
注意: 零向量是任一向量组的线性组合(系数全0即可)
若向量组a1,a2,...,as的每一个向量都可以经向量组b1,b2,...,bt线性表出,
则向量组a1,a2,...,as称为由向量组b1,b2,...,bt线性表出.
如果两个向量组互相可以线性表出,则它们称为等价(equivalent)
linear dependent: 线性相关
如果向量组a1,a2,...,as(s>=2)中有一个向量可以由其余向量线性表出,则这个向量组称为线性相关的.
注意:任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.
另一种表达方法: 若,k1a1+k2a2+...+knan=0,当ki不全为0,则a1,a2,...,an线性相关.
因为按照上面线性相关的定义,假设an可以由其余向量表出,即:
an=k1a1+k2a2+...+k(n-1)a(n-1)
因此显然经过移项有:
k1a1+k2a2+...+k(n-1)a(n-1)+(-1)an=0
反之亦然.
因此上面两个定义是等价的.
特别地,根据上面定义,只有一个向量(记为a)的向量组线性相关的充要条件是a是零向量.
(ka=0)
linear independent: 线性无关
按照上述线性相关的定义,若不存在全为零的数k1,k2,...,kn,使得向量组a1,a2,...,an:
k1a1+k2a2+...+knan=0
则向量组a1,a2,...,an线性无关.
同时说明,向量组中任意一个向量ai都不可以被其他元素线性表出.
推理易得: 该向量组中任意一个向量子集都是线性无关的.
Homogeneous Linear Equation : 齐次线性方程组
常数项全为0的线性方程组称为齐次线性方程组(它的行列数不一定相等),它总是有解的(全为0.称为零解).
按照Cramer's Rule,如果它的系数行列式不为0,则它只有一个解,因此它是零解.
反过来说,如果齐次线性方程组有非零解,则必有|A|=0
Cramer's Rule: 克拉默法则
如果线性方程组:
AX=B
的系数矩阵A的行列式d=|A|不为0,则该线性方程组有解,且解是唯一的.
推论:如果一个n*n的齐次线性方程组的系数矩阵的行列式|A|不为0,则它只有一个解,
又由于它必定有零解,因此综上得到结论:它有且只有零解
推论的逆否命题:如果一个n*n的齐次线性方程组有非零解,那么必有|A|=0.
矩阵的秩(rank),行列式(determinant)与线性方程组的解(solution)的一些关系(理解)
0.如果齐次线性方程组的系数矩阵为A,行列数为s*n,如果s<n,则它必有非零解.
使用消元法把A化成阶梯状,方程的个数不会超过原方程组中方程的个数,
因此r<=s<n,则r<n,因此解不是唯一的(无穷),因此有非零解.
1.如果齐次线性方程组的系数矩阵为A,行列数为s*n的行秩r<n,则它有非零解.
由于A的行秩r<n,则说明A的行向量组线性相关,假设a1,a2,...,ar是一个极大线性无关组,组成一个新矩阵为A'
那么它与A的行向量组a1,a2,...,an是等价的.因此,系数矩阵为A'的方程组与原方程组互相线性表出,
它们是同解的,应用0,可得结论.
2.n*n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n
(即A的行向量组不是线性无关的).
充分性:由于A的秩小于n,说明A的n个行向量线性相关.
若n=1,则该向量为零向量.因此|A|=0.
若n>1,则A中有一个行向量可以由其余行线性表出.
因此从这一行减去其他行相应的倍数,即可以类似消元地消去这一行的系数,使得这行变为0.
因此根据行列式的性质,|A|=0.
必要性:用数学归纳法来证明.(此处略...)
3.系数为A,次数为n*n的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A的行列式等于零.
充分性:由1,2可得.
根据1,|A|=0,则说明A的秩小于n；根据2,A的秩r小于n,则该方程有非零解.
必要性:克拉默法则的推论的逆否命题可知.
由于方程有非零解,则|A|=0.
矩阵(方阵)的逆与行列式的关系
首先,定义:
如果n*n矩阵A的行列式|A|不等于0,则称A为非退化的(non-degenerative).否则是退化的(generative)
而存在逆阵的矩阵称为非奇异的矩阵(non-singular matrix),否则称为奇异矩阵(singular matrix).
矩阵A是可逆的充要条件是A非退化,或说:
|A| != 0 <=> 矩阵A非退化 <=> 矩阵A是非奇异矩阵 <=> 矩阵A满秩(根据以上定理2)
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附:中英文对照表
向量代数
（向量（vector）），（向量的长度（模）），（零向量（zero vector）），（负向量），（向量的加法（addition）），（三角形法则），（平行四边形法则），（多边形法则），（减法），（向量的标量乘积（scalar multiplication））,（向量的线性运算），线性组合（linear combination），线性表示，线性相关（linearly dependent），线性无关（linearly independent），（原点（origin）），（位置向量（position vector）），（线性流形（linear manifold）），（线性子空间（linear subspace））；基（basis），仿射坐标（affine coordinates），仿射标架（affine frame），仿射坐标系（affine coordinate system），（坐标轴（coordinate axis）），（坐标平面），（卦限（octant）），（右手系），（左手系），（定比分点）；（线性方程组（system of linear equations）），（齐次线性方程组（system of homogeneous linear equations）），（行列式（determinant））；维向量，向量的分量（component），向量的相等，和向量，零向量，负向量，标量乘积， 维向量空间（vector space），自然基，（行向量（row vector）），（列向量（column vector））；单位向量（unit vector），直角坐标系（rectangular coordinate system），直角坐标（rectangular coordinates），射影（projection），向量在某方向上的分量，（正交分解），（向量的夹角），内积（inner product），标量积（scalar product），（数量积），（方向的方向角），（方向的方向余弦）；外积（exterior product），向量积（cross product），（二重外积）；混合积（mixed product，scalar triple product）
行列式
（映射（mapping）），（象（image）），（一个原象（preimage）），（定义域（domain）），（值域（range）），（变换（transformation）），（单射（injection）），（象集），（满射（surjection）），（一一映射，双射（bijection）），（原象），（映射的复合，映射的乘积），（恒同映射，恒同变换（identity mapping）），（逆映射（inverse mapping））；（置换（permutation）），（ 阶对称群（symmetric group）），（对换（transposition）），（逆序对），（逆序数），（置换的符号（sign）），（偶置换（even permutation）），（奇置换（odd permutation））；行列式（determinant），矩阵（matrix），矩阵的元（entry），（方阵（square matrix）），（零矩阵（zero matrix）），（对角元），（上三角形矩阵（upper triangular matrix）），（下三角形矩阵（lower triangular matrix）），（对角矩阵（diagonal matrix）），（单位矩阵（identity matrix）），转置矩阵（transpose matrix），初等行变换（elementary row transformation），初等列变换（elementary column transformation）；（反称矩阵（skew-symmetric matrix））；子矩阵（submatrix），子式（minor），余子式（cofactor），代数余子式（algebraic cofactor），（范德蒙德行列式（Vandermonde determinant））；（未知量），（方程的系数（coefficient）），（常数项（constant）），（线性方程组的解（solution）），（系数矩阵），（增广矩阵（augmented matrix）），（零解）；子式的余子式，子式的代数余子式
线性方程组与线性子空间
（阶梯形方程组），（方程组的初等变换），行阶梯矩阵（row echelon matrix），主元，简化行阶梯矩阵（reduced row echelon matrix），（高斯消元法（Gauss elimination）），（解向量），（同解），（自反性（reflexivity）），（对称性（symmetry）），（传递性（transitivity）），（等价关系（equivalence））；（主变量），（自由位置量），（一般解），（齐次线性方程组的秩（rank））；向量组线性相关，向量组线性无关，线性组合，线性表示，线性组合的系数，（向量组的延伸组）；线性子空间，由向量组张成的线性子空间；基，坐标，（自然基），线性子空间的维数（dimension），向量组的秩；（解空间），齐次线性方程组的基础解系（fundamental system of solutions）；（导出组），线性流形，（方向子空间），（线性流形的维数），（方程组的特解）；（方程组的零点），（方程组的图象），（平面的一般方程），（平面的三点式方程），（平面的截距式方程），（平面的参数方程），（参数），（方向向量）；（直线的方向向量），（直线的参数方程），（直线的标准方程），（直线的方向系数），（直线的两点式方程），（直线的一般方程）；（平面束（pencil of planes））
矩阵的秩与矩阵的运算
线性表示，线性等价，极大线性无关组；（行空间，列空间），行秩（row rank），列秩（column rank），秩，满秩矩阵，行满秩矩阵，列满秩矩阵；线性映射（linear mapping），线性变换（linear transformation），线性函数（linear function）；（零映射），（负映射），（矩阵的和），（负矩阵），（线性映射的标量乘积），（矩阵的标量乘积），（矩阵的乘积），（零因子），（标量矩阵（scalar matrix）），（矩阵的多项式）；（退化的（degenerate）方阵），（非退化的（non-degenerate）方阵），（退化的线性变换），（非退化的线性变换），（逆矩阵（inverse matrix）），(可逆的（invertible），（伴随矩阵（adjoint matrix））；（分块矩阵（block matrix）），（分块对角矩阵（block diagonal matrix））；初等矩阵（elementary matrix），等价（equivalent）；（象空间），（核空间（kernel）），（线性映射的秩），（零化度（nullity））
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